一个盒子装有六张卡片.上面分别写着如下六个函数:f1(x)=x3.f2(x)=5|x|.f3(x)=2.f4(x)=2x-12x+1.f5(x)=sin(π2+x).f6(x)=xcosx．(Ⅰ)从中任意拿取2张卡片.若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数．在此条件下.求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率,(Ⅱ)现从盒子中逐一抽取卡片.且每次取� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：f1(x)=x3，f2(x)=5|x|，f₃（x）=2，f4(x)=

2x-1

2x+1

，f5(x)=sin(

π

2

+x)，f₆（x）=xcosx．
（Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数．在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；
（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．

分析：（Ⅰ）所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数，先求出基本事件总数为

C

1

3

C

1

3

+

C

2

3

，满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，再求出满足条件的基本事件个数为

C

2

3

，由此能求出结果．
（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4．分别求出对应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）f1(x)=x3为奇函数；
f2(x)=5|x|为偶函数；
f₃（x）=2为偶函数；
f4(x)=

2x-1

2x+1

为奇函数；
f5(x)=sin(

π

2

+x)为偶函数；
f₆（x）=xcosx为奇函数…（3分）
所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；
另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数；
故基本事件总数为

C

1

3

C

1

3

+

C

2

3

满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，
故满足条件的基本事件个数为

C

2

3

故所求概率为P=

C

2

3

C

1

3

C

1

3

+

C

2

3

=

1

4

．…（6分）
（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4．…（7分）
P(ξ=1)=

C

1

3

C

1

6

=

1

2

，P(ξ=2)=

C

1

3

C

1

6

•

C

1

3

C

1

5

=

3

10

，P(ξ=3)=

C

1

3

C

1

6

•

C

1

2

C

1

5

•

C

1

3

C

1

4

=

3

20

，P(ξ=4)=

C

1

3

C

1

6

•

C

1

2

C

1

5

•

C

1

1

C

1

4

•

C

1

3

C

1

3

=

1

20

；
故ξ的分布列为

ξ

1

2

3

4

P

3

10

3

10

3

20

1

20

…（10分）Eξ=1×

1

2

+2×

3

10

+3×

3

20

+4×

1

20

=

7

4

．
∴ξ的数学期望为

7

4

．…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型．解题时要注意排列组合和概率知识的合理运用．

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（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．

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(x)=2(ex)0，
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（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取3次停止的概率．

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，f₆（x）=xcosx．从中任意拿取2张卡片，则两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率是