Question

在数列{a_n}中，已知a₁=-1，a_n+1=S_n+3n-1（n∈N^*）
①求数列{a_n}的通项公式
②若b_n=3ⁿ+（-1）^n-1•λ•（a_n+3）（λ为非零常数），问是否存在整数λ使得对任意n∈N^*都有b_n+1＞b_n？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：①由已知，得a_n=S_n-1+3n-4（n≥2），利用a_n与s_n的关系，两式相减，a_n+1+3=2（a_n+3）（n≥2），初步判断新数列{a_n+3}具有等比数列的性质，再考虑n=1的情形．
②写出数列{b_n}的通项，首先假设存在λ使得满足题意，然后计算化简b_n+1-b_n，再结合恒成立问题进行转化，将问题转化为：(-1)n-1•λ＜(

3

2

)n-1对任意的n∈N*恒成立．然后分n为奇偶数讨论即可获得λ的范围，再结合为整数即可获得问题的解答．

解答：解：（1）由a_n+1=S_n+3n-1（n∈N^*）①
得a_n=S_n-1+3n-4（n≥2）②
①-②得a_n+1=2a_n+3（n≥2）
∴a_n+1+3=2（a_n+3）（n≥2）
又由②得 a₂=S₁+6-4=a₁+2=1
∴a₂+3=4
∴a₂+3=2（a₁+3）
∴a_n+1+3=2（a_n+3）（n≥1）
∴数列{a_n+3}是首项为2，公比为2的等比数列
∴a_n+3=2×2^n-1=2ⁿ
∴数列{a_n}的 a_n=2ⁿ-3（n≥1）
（2）由（1）可得  b_n=3ⁿ+（-1）^n-1•λ•2ⁿ
b_n+1=3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ•λ•2ⁿ⁺¹
要使b_n+1＞b_n恒成立，只需b_n+1-b_n=2•3ⁿ-3λ•（-1）^n-1•2ⁿ＞0恒成立，
即λ•(-1)n-1＜(

3

2

)n-1恒成立
当n为奇数时，λ＜(

3

2

)n-1恒成立   而(

3

2

)n-1的最小值为1∴λ＜1（10分）
当n为偶数时，λ＞-(

3

2

)n-1恒成立  而-(

3

2

)n-1最大值为-

3

2

∴λ＞-

3

2

（12分）
即λ的取值范围是1＞λ＞-

3

2

，且λ≠1
又λ为整数．
∴存在λ=-1或0，使得对任意n∈N^*都有b_n+1＞b_n．

点评：本题考查的是数列与不等式的综合题．在解答的过程当中充分体现了等比数列的定义、a_n与s_n的关系、分类讨论的知识以及恒成立问题的解答规律．同时务必注意化简计算的准确性．