题目内容

过双曲线x2-
y2
2
=1的右焦点作直线l交双曲线与A，B两点，若|AB|=5则这样的直线共有（　　）条
A、2B、3C、4D、6
分析：先看当AB都在右支上时，若AB垂直x轴，根据双曲线方程求得焦点的坐标，把焦点横坐标代入双曲线方程求得交点的纵坐标，进而求得AB的长结果小于5，则根据双曲线的对称性判断出符合题意的直线有两条；再看若AB分别在两支先看A，B为两顶点时，不符合题意进而可推断出符合题意的直线有两条，最后综合可得答案．
解答：解：若AB都在右支
若AB垂直x轴
a2=1，b2=2
c2=3
所以F（
3
，0）
则AB是x=
3

代入x2-
y2
2
=1，求得y=±2
所以AB=y1-y2=4＜5
所以AB=5的有两条，关于x=
3
对称
若AB分别在两支
a=1
所以顶点距离=1+1=2＜5
所以AB=5也有两条，关于x轴对称
所以一共4条
故选C
点评：本题主要考查了双曲线的对称性和直线与双曲线的关系．考查了学生分析推理和分类讨论思想的运用．
练习册系列答案
相关题目
下列是有关直线与圆锥曲线的命题：
①过点（2，4）作直线与抛物线y2=8x有且只有一个公共点，这样的直线有2条；
②过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线有且仅有两条；
③过点（3，1）作直线与双曲线
x2
4
-y2=1有且只有一个公共点，这样的直线有3条；
④过双曲线x2-
y2
2
=1的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|=4，则满足条件的直线l有3条；
⑤已知双曲线x2-
y2
2
=1和点A（1，1），过点A能作一条直线l，使它与双曲线交于P，Q两点，且点A恰为线段PQ的中点．
其中说法正确的序号有
①②④
①②④
．（请写出所有正确的序号）
以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①双曲线
x2
16
-
y2
9
=1与椭圆
x2
49
+
y2
24
=1有相同的焦点；
②在平面内，设A、B为两个定点，P为动点，且|PA|+|PB|=k，其中常数k为正实数，则动点P的轨迹为椭圆；
③方程2x2-3x+1=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④过双曲线x2-
y2
2
=1的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有且仅有3条．
其中真命题的序号为
①④
①④
（写出所有真命题的序号）．
过双曲线x2-
y22
=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数λ使得|AB|=λ的直线l恰有3条，则λ=
4
4
．
过双曲线x2-
y2
2
=1的右焦点作直线l交双曲线与A，B两点．若使|AB|=λ（λ为实数）的直线l恰有三条，则λ=（　　）

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