题目内容
已知向量
、
不共线,若
=λ1
+
,
=
+λ2
,且A、B、C三点共线,则关于实数λ1、λ2一定成立的关系式为( )
a |
b |
AB |
a |
b |
AC |
a |
b |
A、λ1=λ2=1 |
B、λ1=λ2=-1 |
C、λ1λ2=1 |
D、λ1+λ2=1 |
分析:先求A、B、C三点共线的充要条件,我们要先根据已知条件a、b是不共线的向量
=λ1
+
,
=
+λ2
,判断λ与μ满足的关系;并以此关系为已知条件,看能不能反推回来得到A、B、C三点共线.如果两个过程都是可以的,该关系式即为所求.
AB |
a |
b |
AC |
a |
b |
解答:解:由于
,
有公共点A,
∴若A、B、C三点共线
则
与
共线
即存在一个实数t,使
=t
即
消去参数t得:λ1λ2=1;
反之,当λ1λ2=1时
=λ 1a+b
此时存在实数
使
=
故
与
共线
又由
,
有公共点A,
∴A、B、C三点共线
故A、B、C三点共线的充要条件是λ1λ2=1.
故选C.
AB |
AC |
∴若A、B、C三点共线
则
AB |
AC |
即存在一个实数t,使
AB |
AC |
即
|
消去参数t得:λ1λ2=1;
反之,当λ1λ2=1时
AB |
此时存在实数
1 |
λ 1 |
AB |
1 |
λ 1 |
AC |
故
AB |
AC |
又由
AB |
AC |
∴A、B、C三点共线
故A、B、C三点共线的充要条件是λ1λ2=1.
故选C.
点评:判断充要条件的方法是:①若p?q为真命题且q?p为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;②若p?q为假命题且q?p为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;③若p?q为真命题且q?p为真命题,则命题p是命题q的充要条件;④若p?q为假命题且q?p为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系.

练习册系列答案
相关题目
已知向量
、
不共线,且|
|=|
|,则下列结论中正确的是( )
a |
b |
a |
b |
A、向量
| ||||||||
B、向量
| ||||||||
C、向量
| ||||||||
D、向量
|