题目内容

已知向量
a
、
b
不共线，若
AB
=λ1
a
+
b
，
AC
=
a
+λ2
b
，且A、B、C三点共线，则关于实数λ1、λ2一定成立的关系式为（　　）
A、λ1=λ2=1
B、λ1=λ2=-1
C、λ1λ2=1
D、λ1+λ2=1
分析：先求A、B、C三点共线的充要条件，我们要先根据已知条件a、b是不共线的向量
AB
=λ1
a
+
b
，
AC
=
a
+λ2
b
，判断λ与μ满足的关系；并以此关系为已知条件，看能不能反推回来得到A、B、C三点共线．如果两个过程都是可以的，该关系式即为所求．
解答：解：由于
AB
，
AC
有公共点A，
∴若A、B、C三点共线
则
AB
与
AC
共线
即存在一个实数t，使
AB
=t
AC

即
λ 1=at
1=λ 2t

消去参数t得：λ1λ2=1；
反之，当λ1λ2=1时
AB
=λ 1a+b
此时存在实数
1
λ 1
使
AB
=
1
λ 1
AC

故
AB
与
AC
共线
又由
AB
，
AC
有公共点A，
∴A、B、C三点共线
故A、B、C三点共线的充要条件是λ1λ2=1．
故选C．
点评：判断充要条件的方法是：①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
、
b
不共线，且|
a
|=|
b
|，则下列结论中正确的是（　　）
A、向量
a
+
b
与
a
-
b
垂直
B、向量
a
+
b
与
a
-
b
共线
C、向量
a
+
b
与
a
垂直
D、向量
a
+
b
与
a
共线
已知向量
a
，
b
不共线，
c
=k
a
+
b
，（k∈R），
d
=
a
-
b
如果
c
∥
d
那么（　　）
已知向量
a
、
b
不共线，
c
=k
a
+
b
(k∈R)，
d
=
a
-
b
，如果
c
∥
d
，那么（　　）
已知向量
a
、
b
不共线，
c
=k
a
+
b
（k∈R），
d
=
a
-2
b
，如果
c
∥
d
，那么（　　）

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网