题目内容

(2011•延庆县一模)设函数f(x)的定义域为D,如果对于任意的x1∈D,存在唯一一个x2∈D,使得f(x1)+f(x2)=c(c为常数)成立,则称函数f(x)在D上“与常数c关联”,现有函数 ①y=
1
x-1
,②y=-x3,③y=(
1
2
)|x|
,④y=ln(-x),⑤y=cosx+
1
2
,则其中满足在其定义域上与常数1关联的所有函数是(  )
分析:对各个选项分别加以判断:根据“与常数4关联”的定义,列出方程可以解出x2关于x1表达式且情况唯一的选项是②和④
,而①和③通过解方程发现不符合这个定义,从而得出正确答案.
解答:解:①y=
1
x-1
 的定义域为{x|x≠1},设x1≠1,由
1
x1-1
+
1
x2-1
=1,可得 x2=
2x1-3
x1-2

当x1=2时,x2不存在,故①y=
1
x-1
在其定义域上不是与常数1关联的函数. 
②y=-x3 的定义域R,设x1∈R,由-x13-x23=1,可得一定存在唯一的一个x2=
3-1-x13
=-
31-+x13

故②y=-x3 在其定义域上是与常数1关联的函数.
y=(
1
2
)|x|
的定义域为R,设x1=-1时,满足 (
1
2
)
|x1|
+(
1
2
)
|x2|
=1的 x2 不存在,
故③y=(
1
2
)|x|
 在其定义域上不是与常数1关联的函数.
④y=ln(-x)的定义域为{x|x<0},设x1<0,由ln(-x1)+ln(-x2)=1,可得唯一的x2=
e
x1
<0,
故④y=ln(-x)在其定义域上是与常数1关联的函数.
y=cosx+
1
2
明显不成立,因为y=cosx+
1
2
是R上的周期函数,故在其定义域上不是与常数1关联的函数. 
故选 D.
点评:本题着重考查了抽象函数的应用,属于基础题.充分理解各基本初等函数的定义域和值域,是解决本题的关键.
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