题目内容
(2011•延庆县一模)设函数f(x)的定义域为D,如果对于任意的x1∈D,存在唯一一个x2∈D,使得f(x1)+f(x2)=c(c为常数)成立,则称函数f(x)在D上“与常数c关联”,现有函数 ①y=
,②y=-x3,③y=(
)|x|,④y=ln(-x),⑤y=cosx+
,则其中满足在其定义域上与常数1关联的所有函数是( )
1 |
x-1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
分析:对各个选项分别加以判断:根据“与常数4关联”的定义,列出方程可以解出x2关于x1表达式且情况唯一的选项是②和④
,而①和③通过解方程发现不符合这个定义,从而得出正确答案.
,而①和③通过解方程发现不符合这个定义,从而得出正确答案.
解答:解:①y=
的定义域为{x|x≠1},设x1≠1,由
+
=1,可得 x2=
,
当x1=2时,x2不存在,故①y=
在其定义域上不是与常数1关联的函数.
②y=-x3 的定义域R,设x1∈R,由-x13-x23=1,可得一定存在唯一的一个x2=
=-
,
故②y=-x3 在其定义域上是与常数1关联的函数.
③y=(
)|x|的定义域为R,设x1=-1时,满足 (
)|x1|+(
)|x2|=1的 x2 不存在,
故③y=(
)|x| 在其定义域上不是与常数1关联的函数.
④y=ln(-x)的定义域为{x|x<0},设x1<0,由ln(-x1)+ln(-x2)=1,可得唯一的x2=
<0,
故④y=ln(-x)在其定义域上是与常数1关联的函数.
⑤y=cosx+
明显不成立,因为y=cosx+
是R上的周期函数,故在其定义域上不是与常数1关联的函数.
故选 D.
1 |
x-1 |
1 |
x1-1 |
1 |
x2-1 |
2x1-3 |
x1-2 |
当x1=2时,x2不存在,故①y=
1 |
x-1 |
②y=-x3 的定义域R,设x1∈R,由-x13-x23=1,可得一定存在唯一的一个x2=
3 | -1-x13 |
3 | 1-+x13 |
故②y=-x3 在其定义域上是与常数1关联的函数.
③y=(
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
故③y=(
1 |
2 |
④y=ln(-x)的定义域为{x|x<0},设x1<0,由ln(-x1)+ln(-x2)=1,可得唯一的x2=
e |
x1 |
故④y=ln(-x)在其定义域上是与常数1关联的函数.
⑤y=cosx+
1 |
2 |
1 |
2 |
故选 D.
点评:本题着重考查了抽象函数的应用,属于基础题.充分理解各基本初等函数的定义域和值域,是解决本题的关键.

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