Question

已知圆C：x²+y²-2x-4y-4=0．
（I）设圆C与x轴交于A、B两个点，求线段AB的长；
（II）过点（4，3）作圆C的切线，求切线的方程．

Answer 1

解：（I）由题意可得：圆的标准方程为：（x-1）²+（y-2）²=9，设D为AB的中点，
因为圆C与x轴相交，
所以|CD|=2，|所以AC|=3，
所以在直角三角形ACD中，|AD|=，
所以|AB|=2|AD|=2．
（II）由题意可得：点（4，3）在圆的外部，所以所求切线有两条，
由图象可得，过点（4，3）作圆的切线一条为x=4．

设过点（4，3）的圆C的另一条切线为：y-3=k（x-4），
根据点到直线的距离公式可得：，
解得：k=，整理切线方程可得：4x+3y-25-0．
所以圆的切线方程为：x=4或者4x+3y-25-0．
分析：（I）设D为AB的中点，由题意可得：|CD|=2，|AC|=3，在直角三角形ACD中，|AD|=，进而求出答案．
（II）由题意可得：点（4，3）在圆的外部，所以所求切线有两条，由图象可得，过点（4，3）作圆的切线一条为x=4．
设出另一条切线方程，再由点到直线的距离得到切线方程．
点评：本题主要考查弦长问题与直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式．