题目内容
16.$\frac{cosB}{cosA}=\frac{-b}{2a+c}$.(1)求B的大小;
(2)若b=$\sqrt{13}$,a+c=4,求三角形面积.
分析 (1)利用正弦定理化简已知的等式,整理后利用两角和与差的正弦函数公式变形,根据sinA不为0,求出cosB的值,由B为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数;
(2)利用余弦定理的得到b2=a2+c2-2accosB,根据完全平方公式化简后,将b,a+c及cosB的值代入,求出ac的值,再由sinB的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积.
解答 解:(1)∵$\frac{cosB}{cosA}=\frac{-b}{2a+c}$,
∴由正弦定理可得:$\frac{cosB}{cosA}=\frac{-sinB}{2sinA+sinC}$,
整理得:2sinAcosB+sinCcosB=-sinBcosA,即2sinAcosB=-sin(B+C),
∴2sinAcosB=-sinA,
∴由sinA≠0,可解得:cosB=-$\frac{1}{2}$,
又B为三角形的内角,则B=$\frac{2π}{3}$;
(2)∵b=$\sqrt{13}$,a+c=4,B=$\frac{2π}{3}$,
∴由余弦定理得:b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB,
∴13=16-2ac(1-$\frac{1}{2}$),
∴ac=3,
则S△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$.
点评 此题考查了正弦、余弦定理,三角形面积公式的应用,考查了两角和与差的正弦函数公式以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键,属于中档题.
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