Question

【题目】已知点F为椭圆（a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k1和k2，求证：k1k2＝e2﹣1（e为椭圆的离心率）.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）根据椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1，则有求解.

（2）由（1）可知，A（2，0），B（0，），分别设直线AM的方程为y＝k（x﹣2），直线BN的方程为y＝kx，与椭圆方程联立，用韦达定理求得点M，N的坐标，再利用斜率公式代入k1k2求解.

（1）由题意可知，，解得，

∴b2＝a2﹣c2＝3，

∴椭圆的标准方程为：；

（2）由（1）可知，A（2，0），B（0，），

设直线AM的斜率为k，则直线BN的斜率也为k，

故直线AM的方程为y＝k（x﹣2），直线BN的方程为y＝kx，

由得：（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0，

∴，∴，，

∴，

由得：，

∴，，

∴，

∴，

，

∴k1k2，

又∵，

∴k1k2＝e2﹣1.