Question

已知函数f(x)=

1-ax

1+x

x²
（1）若函数f（x）在x=0处的切线与直线y=x垂直，求a的值；
（2）若对任意x＞0，恒有f（x）＞1，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f′（x）=

-ax2+(1-a)x-a

(1+x)2

e^x，由已知f′（0）=-1，能求出a．
（2）由f′(x)=

-ax2+(1-a)x-a

(1+x)2

ex，（x＞0）令g（x）=-ax²+（1-a）x-a，则f′（x）与g（x）的符号相同．由此进行分类讨论，能够推导出当a≤0时，对任意x＞0，恒有f（x）＞1．

解答：解：（1）∵f(x)=

1-ax

1+x

x²，
∴f′(x)=[

-a(1+x)-(1-ax)

(1+x)2

+

1-ax

1+x

]ex
=

-ax2+(1-a)x-a

(1+x)2

e^x，
由已知f′（0）=-1，
∴-a=-1，得a=1．
（2）由f′(x)=

-ax2+(1-a)x-a

(1+x)2

ex，（x＞0）
令g（x）=-ax²+（1-a）x-a，
则f′（x）与g（x）的符号相同．
（i）当a=0时，g（x）=x＞0．
即f′（x）在（0，+∞）上大于0．
∴函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴f（x）＞f（0）=1．
（ii）当a＜0时，g（x）=-ax²+（1-a）x-a的图象是开口向上的抛物线，
∵对称轴x=

1-a

2a

＜0，
∴x＞0时，g（x）＞g（0）=-a＞0，
即f′（x）在（0，+∞）上大于0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴f（x）＞f（0）=1．
（iii）当a＞0时，令g（x）=0，得-ax²+（1-a）x-a=0，
由△=（1-a）²-4a²＞0，得-1＜a＜

1

3

．
∴当0＜a＜

1

3

时，g（x）=0有两个不等的实根x₁，x₂，设x₁＜x₂，
∵x₁x₂=1＞0，x1+x2=

1-a

a

＞0，
∴x₁＞0，x₂＞0，
∴f′（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）上小于0，在（x1，x2 ）上大于0，
∴函数f（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）上为减函数，在（x1，x2 ）上为增函数，
∴存在x₀∈（0，x₁），使f（x₀）＜f（0）=1，
当a≥

1

3

时，△=（1-a）²-4a²≤0，
∴x＞0时，g（x）≤0，
即f′（x）在（0，+∞）上小于或等于0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，
∴f（x）＜f（0）=1，
综上所述，当a≤0时，对任意x＞0，恒有f（x）＞1．

点评：本题考查利用导数求函数的切线方程的综合运用，考查推理论证能力和解题运算能力，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的灵活运用．