题目内容
【题目】四个同样大小的球,,,两两相切,点是球上的动点,则直线与直线所成角的正弦值的取值范围为( ).
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
三棱锥是正四面体,正四面体的对棱互相垂直,因此平移直线至位置,则,过、的平面截球得一个大圆,过作大圆的两条切线、.当点运动至切点时,最小,当点运动至切点时,最大.分别求出角的最大值和最小值,再求正弦值即可.
解:
由四个同样大小的球,,,两两相切,
则可以把,,,看成正四面体的四个顶点,
球的半径为棱长的一半,记球的半径为1,则正四面体的棱长为2.
平移直线至位置,过,的平面截球得一个大圆,
过作大圆的两条切线,,
由线面垂直易证,由图可知,
当点运动至切点时,最小,
当点运动至切点时,最大,
设,则,
在中,,则,
即直线与直线所成角,
则直线与直线所成角的正弦值的取值范围为.
故选:C.
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