题目内容
【题目】四个同样大小的球
，
，
，
两两相切，点
是球上的动点，则直线
与直线
所成角的正弦值的取值范围为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
三棱锥
是正四面体，正四面体的对棱互相垂直，因此平移直线
至
位置，则
，过、
的平面截球
得一个大圆，过
作大圆的两条切线
、
.当点
运动至切点
时，
最小，当点运动至切点
时，最大.分别求出角的最大值和最小值,再求正弦值即可.
解：
由四个同样大小的球，，
，
两两相切，
则可以把，，，看成正四面体的四个顶点，
球的半径为棱长的一半，记球的半径为1，则正四面体的棱长为2．
平移直线至位置，过，的平面截球得一个大圆，
过作大圆的两条切线，，
由线面垂直易证，由图可知，
当点运动至切点时，最小，
当点运动至切点时，最大，
设
，则
，
在
中，
，则
，
即直线
与直线所成角
，
则直线与直线所成角的正弦值的取值范围为
.
故选：C．
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