题目内容
【题目】已知函数 ,数列{an}满足
.
(1)求证:数列{ }是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1 , 求Sn .
【答案】
(1)证明:∵函数 ,数列{an}满足
,
∴ ,
∴ =3+
,
∴ =3,
=1,
∴数列{ }是首项为1,公差为3的等差数列
(2)解:∵数列{ }是首项为1,公差为3的等差数列,
∴ =1+(n﹣1)×3=3n﹣2,
∴an= .
(3)解:∵anan+1= =
(
),
∴Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1
= (1﹣
+
+
+…+
)
=
= .
【解析】(1)由已知利用函数性质得 ,从而
=3+
,由此能证明数列{
}是首项为1,公差为3的等差数列.(2)由
=1+(n﹣1)×3=3n﹣2,能求出an . (3)anan+1=
=
(
),利用裂项求和法能求出Sn .
【考点精析】根据题目的已知条件,利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
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