Question

10．某班同学利用暑假在A、B两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查及宣传活动．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则，称为“非低碳族”．各小区中，这两“族”人数分别与本小区总人数的比值如下表：

	低碳族	非低碳族
比值（A小区）	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
比值（B小区）	$\frac{4}{5}$	$\frac{1}{5}$

（Ⅰ）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是“低碳族”的概率；
（Ⅱ）经过大力宣传后的连续两周，A小区“非低碳族”中，每周有20%的人加入到“低碳族”的行列．这两周后，如果从A小区中随机地选出25个人，用ξ表示这25个人中的“低碳族”人数，求数学期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）这4人中恰好有两人是低碳族分三类：甲、乙低碳族，丙、丁非低碳族；甲、乙非低碳族，丙、丁低碳族；甲、乙中一人低碳族，一人非低碳族，丙、丁一人低碳族，一人非低碳族；每类中按独立事件求概率，再求和即可．
（Ⅱ）首先求出两周后随机地从A小区中非低碳族的概率，ξ服从二项分布，利用二项分布的期望和方差公式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）记“这4人中恰有2人为低碳族”为事件A，则P（A）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}$+4×$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{4}{5}×\frac{1}{5}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{4}{5}×\frac{4}{5}$=$\frac{33}{100}$；
（Ⅱ）设A小区的总人数为 a，过两周后，A小区中的“非低碳族”人数与本小区总人数的比为$\frac{a×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{5}）^{2}}{a}$=$\frac{8}{25}$
2周后低碳族的概率小区中的“非低碳族”人数与本小区总人数的比为P=1-$\frac{8}{25}$=$\frac{17}{25}$．
依题意ξ～B（25，$\frac{17}{25}$），所以E（ξ）=25×$\frac{17}{25}$=17．

点评 本题考查独立事件、互斥事件的概率及二项分布的期望知识，考查分析问题、解决问题的能力．