题目内容
【题目】随着生活水平的提高和人们对健康生活的重视,越来越多的人加入到健身运动中.国家统计局数据显示,2019年有4亿国人经常参加体育锻炼.某健身房从参与健身的会员中随机抽取100人,对其每周参与健身的天数和2019年在该健身房所有消费金额(单位:元)进行统计,得到以下统计表及统计图:
平均每周健身天数 | 不大于2 | 3或4 | 不少于5 |
人数(男) | 20 | 35 | 9 |
人数(女) | 10 | 20 | 6 |
若某人平均每周进行健身天数不少于5,则称其为“健身达人”.该健身房规定消费金额不多于1600元的为普通会员,超过1600元但不超过3200元的为银牌会员,超过3200元的为金牌会员.
(1)已知金牌会员都是健身达人,现从健身达人中随机抽取2人,求他们均是金牌会员的概率;
(2)能否在犯错误的概率不超过的前提下认为性别和是否为“健身达人”有关系?
(3)该健身机构在2019年年底针对这100位消费者举办一次消费返利活动,现有以下两种方案:
方案一:按分层抽样从普通会员、银牌会员和金牌会员中共抽取25位“幸运之星”,分别给予188元,288元,888元的幸运奖励;
方案二:每位会员均可参加摸奖游戏,游戏规则如下:摸奖箱中装有5张形状大小完全一样的卡片,其中3张印跑步机图案、2张印动感单车图案,有放回地摸三次卡片,每次只能摸一张,若摸到动感单车的总数为2,则获得100元奖励,若摸到动感单车的总数为3,则获得200元奖励,其他情况不给予奖励.规定每个普通会员只能参加1次摸奖游戏,每个银牌会员可参加2次摸奖游戏,每个金牌会员可参加3次摸奖游戏(每次摸奖结果相互独立).
请你比较该健身房采用哪一种方案时,在此次消费返利活动中的支出较少,并说明理由.
附:,其中为样本容量.
0.50 | 0.25 | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | |
0.455 | 1.323 | 2.706 | 3.841 | 6.636 | 7.879 |
【答案】(1);(2) 不能在犯错误的概率不超过的前提下认为性别和是否为“健身达人”有关系;(3) 采用方案二时,在此次消费返利活动中的支出较少.
【解析】
(1)根据统计图与统计表分别求得金牌会员与健身达人的人数,再根据组合的方法求解从健身达人中随机抽取2人,他们均是金牌会员的概率即可.
(2)根据图表分别求得非健身达人与健身达人中男女的人数,再计算分析即可.
(3)先求得普通会员、银牌会员与金牌会员的人数,再分别计算方案一和方案二中的支出.方案一计算分层抽样的各层次人数计算总支出,方案二中先计算一次摸奖的奖励数学期望,再分析所有的总奖励数学期望,再比较方案一、二的支出即可.
(1)由题意得,健身达人共人,金牌会员人数有人.又金牌会员都是健身达人,故从健身达人中随机抽取2人,他们均是金牌会员的概率为.
(2)由图表可知,非健身达人男性有:人,健身达人男性有:人;
非健身达人女性有:人,健身达人女性有:人.
列出列联表有:
非健身达人 | 健身达人 | 总人数 | |
人数(男) | 55 | 9 | 64 |
人数(女) | 30 | 6 | 36 |
总人数 | 85 | 15 | 100 |
故.
故不能在犯错误的概率不超过
(3)由图,普通会员有人,银牌会员有人,金牌会员有人.
方案一:抽取的普通会员、银牌会员与金牌会员分别有,,人.故共支出元.
方案二:摸一次奖获得奖励的数学期望为.
故总支出的数学期望为.
故采用方案二时,在此次消费返利活动中的支出较少.
【题目】某工厂改造一废弃的流水线M,为评估流水线M的性能,连续两天从流水线M生产零件上随机各抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表:记抽取的零件直径为X.
第一天
直径/mm | 58 | 59 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 73 | 合计 |
件数 | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
第二天
直径/mm | 58 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 73 | 合计 |
件数 | 1 | 1 | 2 | 4 | 5 | 21 | 34 | 21 | 3 | 3 | 2 | 1 | 1 | 1 | 100 |
经计算,第一天样本的平均值,标准差第二天样本的平均值,标准差
(1)现以两天抽取的零件来评判流水线M的性能.
(i)计算这两天抽取200件样本的平均值和标准差(精确到0.01);
(ii)现以频率值作为概率的估计值,根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的概率),①;②;③评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为优;仅满足其中两个,则等级为良;若仅满足其中一个,则等级为合格;若全部不满足,则等级为不合格,试判断流水线M的性能等级.
(2)将直径X在范围内的零件认定为一等品,在范围以外的零件认定为次品,其余认定为合格品.现从200件样本除一等品外的零件中抽取2个,设为抽到次品的件数,求分布列及其期望.
附注:参考数据:,,;
参考公式:标准差.