Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的离心率为

3

2

，长轴端点与短轴端点间的距离为

5

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点D（0，4）的直线l与椭圆C交于两点E，F，O为坐标原点，若△OEF为直角三角形，求直线l的斜率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知

c

a

=

3

2

，a²+b²=5，由此能够求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）根据题意，过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在，设l：y=kx+4，联立，

x2 4 +y2=1  y=kx+4

，再由根与系数的关系求解．

解答：解：（Ⅰ）由已知

c

a

=

3

2

，a²+b²=5，
又a²=b²+c²，解得a²=4，b²=1，
所以椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）根据题意，过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在，设l：y=kx+4，
联立，

x2 4 +y2=1  y=kx+4

，消去y得（1+4k²）x²+32kx+60=0，
△=（32k）²-240（1+4k²）=64k²-240，
令△＞0，解得k2＞

15

4

．
设E，F两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
（ⅰ）当∠EOF为直角时，
则x1+x2=-

32k

1+4k2

 ， x1x2=

60

1+4k2

，
因为∠EOF为直角，所以

OE

•

OF

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
所以（1+k²）x₁x₂+4k（x₁+x₂）+16=0，
所以

15×(1+k2)

1+4k2

-

32k2

1+4k2

+4=0，解得k=±

19

．
（ⅱ）当∠OEF或∠OFE为直角时，不妨设∠OEF为直角，
此时，k_OE•k=-1，所以

y1

x1

•

y1-4

x1

=-1，即x₁²=4y₁-y₁²①，
又

x 2 1

4

+

y

2 1

=1；②，
将①代入②，消去x₁得3y₁²+4y₁-4=0，
解得y1=

2

3

或y₁=-2（舍去），
将y1=

2

3

代入①，得x1=±

2

3

5

，
所以k=

y1-4

x1

=±

5

，
经检验，所求k值均符合题意，综上，k的值为±

19

和±

5

．

点评：本题是椭圆问题的综合题，解题时要认真审题，仔细解答．