Question

19．已知△ABC中，|AB|=4，且|AC|，|AB|，|BC|成等差数列．
（I）求顶点C的轨迹方程；
（Ⅱ）求△ABC重心G的轨迹方程．

Answer 1

分析 （I）以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），利用三边是等差数列，AB的长是4，可得AC+BC=2AB=8，所以直线AB外的一点C到两定点A，B的距离和为一定值，是个椭圆，即可求顶点C的轨迹方程；
（Ⅱ）设重心G（x，y），C（x₁，y₁），利用重心坐标公式，确定G，C的关系，即可求△ABC重心G的轨迹方程．

解答 解：（I）以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0）
因为三边是等差数列，AB的长是4．
所以AC+BC=2AB=8，
所以直线AB外的一点C到两定点A，B的距离和为一定值，是个椭圆，
其中2a=8，c=2，b=2$\sqrt{3}$，
注意C点不能在直线AB上．所以点C的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．（y≠0）
（2）设重心G（x，y），C（x₁，y₁）．
因为A（-2，0），B（2，0），
所以根据重心坐标公式得：x=$\frac{1}{3}$（-2+2+x₁），y=$\frac{1}{3}$（0+0+y₁）．
则x₁=3x，y₁=3y．
因为点C的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．（y≠0）
所以$\frac{{x}^{2}}{\frac{16}{9}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{3}}$=1．（y≠0），这就是△ABC重心G的轨迹方程

点评 本题考查轨迹方程，考查椭圆定义的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．