题目内容
【题目】已知
，二次函数
，关于
的不等式
的解集为
，其中
为非零常数，设
．
（1）求
的值；
（2）若存在一条与
轴垂直的直线和函数
的图象相切，且切点的横坐标
满足
，求实数
的取值范围；
（3）当实数
取何值时，函数
存在极值？并求出相应的极值点．
【答案】（1）
；
（2）
；
（3）若
时，
，函数
极小值点为
；若
时，当
时，函数极小值点为
，极大值点为
（其中
，
）
【解析】
试题分析：（1）首先用向量的数量积公式代入到
的表达式中，然后根据所给出的不等式解集即可求得
的值；（2）若存在这样的直线，则说明函数
的导数可为0，从而对函数求导后解得切点横坐标
与
的关系，根据不等式得到的范围，进而求得实数
的范围；（3）当函数存在极值时，其导数必为零点，因此先对函数求导，由于解析式中含实数
，由此对导数进行分类讨论，从而可求得极极值以及极值点．
试题解析：（1）∵
，
∴二次函数
，
关于
的不等式
的解集为
，
也就是不等式
的解集为，
∴
和 
是方程
的两个根，
由韦达定理得：
，
∴
（2）由（1）得
，
∴
，
∵存在一条与
轴垂直的直线和
的图象相切，且切点的横坐标为
，
∴
．
∵
，∴
．
令
，则
，
当
时，
，
∴
在
上为增函数，
从而
，∴
（3）
的定义域为
，
∴
方程
（*）的判别式
．
①若
时，
，方程（*）的两个实根为
，或
，
则
时，
；
时，
，
∴函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
此时函数存在极小值，极小值点为
可取任意实数，
②若
时，当
，即
时，
恒成立，
在
上为增函数，
此时在
上没有极值
下面只需考虑
的情况，由，得
或
，
当
，则
，
故
时，
，
∴函数
在
上单调递增，
∴函数没有极值．
当
时，
，
则
时，
时，
时，
，
∴函数在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，此时函数存在极大值和极小值，极小值点
，有极大值点
．
综上所述，若时，
可取任意实数，此时函数有极小值且极小值点为；若时，当时，函数有极大值和极小值，此时极小值点为，极大值点为（其中
）
