题目内容

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且cos(B+C)+2sinA=1.
(1)求sinA和cosA;
(2)若△ABC的面积为4,且c=2,求a
分析:(1)根据三角形的内角和为π及诱导公式cos(π-α)=-cosα化简cos(B+C)+2sinA=1,然后两边平方得到关于sinA的一元二次方程,解出sinA,然后根据化简的结果代入求出cosA即可;
(2)根据三角形的面积公式S=
1
2
bcsinA求出b的值,然后利用余弦定理即可求出a的值.
解答:解:(1)由已知cos(B+C)+2sinA=1,且A+B+C=π,
根据cos(B+C)=cos(π-A)=-cosA化简得:-cosA+2sinA=1
两边平方并整理得5sin2A-4sinA=0,
∵sinA≠0,
∴sinA=
4
5
,根据-cosA+2sinA=1得到cosA=2sinA-1=
3
5

(Π)∵S=
1
2
bcsinA=4,c=2
∴b=5
根据余弦定理得a=
b2+c2-2bccosA
=
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点评:考查学生会利用诱导公式化简求值,灵活运用余弦定理求三角形边长的能力.
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