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精英家教网已知某质点的运动方程为s(t)=t3+bt2+ct+d,如图是其运动轨迹的一部分,若t∈[
12
,4]时,s(t)<3d2恒成立,求d的取值范围.
分析:结合图象发现s(t)在t=1和t=3处取得极值,可建立两个等式,解出b与c的值,根据单调性求出s(t)在[
1
2
,4]上的最大值,使s(t)max<3d2,解出不等式即可.
解答:精英家教网解:s'(t)=3t2+2bt+c.
由图象可知,s(t)在t=1和t=3处取得极值.
则s'(1)=0,s'(3)=0.
3+2b+c=0
27+6b+c=0
解得
b=-6
c=9

s'(t)=3t2-12t+9=3(t-1)(t-3).
当t∈[
1
2
,1)时,s'(t)>0.
当t∈(1,3)时,s'(t)<0.
当t∈(3,4)时,s'(t)>0.
则当t=1时,s(t)取得极大值为4+d.
又s(4)=4+d,
故t∈[
1
2
,4]时,s(t)的最大值为4+d.
已知s(t)<3d2
1
2
,4]上恒成立,
∴s(t)max<3d2.即4+d<3d2
解得d>
4
3
或d<-1.
∴d的取值范围是{d|d>
4
3
或d<-1}.
点评:本题主要考查了利用导数研究函数的极值,以及函数恒成立问题等有关知识,属于中档题.
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