Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+x2-2．
（Ⅰ）设{a_n}是正数组成的数列，前n项和为S_n，其中a₁=3．若点（a_n，a_n+1²-2a_n+1）（n∈N^*）在函数y=f′（x）的图象上，求证：点（n，S_n）也在y=f′（x）的图象上；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间（a-1，a）内的极值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知f′（x）=x²+2x，由点（a_n，a_n+1²-2a_n+1）（n∈N⁺）在函数y=f′（x）的图象上，知（a_n-1-a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，所以Sn=3n+

n(n-1)

2

×2=n2+2n=f'（n），故点（n，S_n）也在函数y=f′（x）的图象上．
（Ⅱ）由f'（x）=0，得x=0或x=-2．然后列表求解函数f（x）在区间（a-1，a）内的极值．

解答：解：（Ⅰ）证明：因为f(x)=

1

3

x3+x2-2，所以f′（x）=x²+2x，
由点（a_n，a_n+1²-2a_n+1）（n∈N⁺）在函数y=f′（x）的图象上，
又a_n＞0（n∈N⁺），所以（a_n-1-a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，
所以Sn=3n+

n(n-1)

2

×2=n2+2n，又因为f′（n）=n²+2n，所以S_n=f'（n），
故点（n，S_n）也在函数y=f′（x）的图象上．

（Ⅱ）解：f'（x）=x²+2x=x（x+2），由f'（x）=0，得x=0或x=-2．
当x变化时，f'（x）﹑f（x）的变化情况如下表：

注意到|（a-1）-a|=1＜2，从而
①当，此时f（x）无极小值；
②当a-1＜0＜a，即0＜a＜1时，f（x）的极小值为f（0）=-2，此时f（x）无极大值；
③当a≤-2或-1≤a≤0或a≥1时，f（x）既无极大值又无极小值．

点评：本题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力．对于a的讨论标准找不到或对其讨论不全造成结果错误．分类讨论思想在数学中是非常重要的思想之一，所以希望能加强这方面的训练．