题目内容

设f（x）=log $数学公式$ $数学公式$ 为奇函数，b为常数．
（1）求b的值；
（2）求f（2）+f（3）+…+f（9）+f（10）的值；
（3）若对于区间[3，4]上的每一个x的值，不等式f（x）＞（ $数学公式$ ）^x+m恒成立，求实数m的取值范围．

解：（1）∵f（x）=log $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 为奇函数，b为常数，
∴f（-x）+f（x）=0，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =0，
∴ $\text{[math]}$ ，解得b=±1．
∵b=1时， $\text{[math]}$ =-1，不成立，舍去，∴b=-1．
（2）∵b=-1，∴f（x）= $\text{[math]}$ ，
∴f（2）+f（3）+…+f（9）+f（10）
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
（3）∵对于区间[3，4]上的每一个x的值，不等式f（x）＞（ $\text{[math]}$ ）^x+m恒成立，
∴当x∈[3，4]时，f（x）-（ $\text{[math]}$ ）^x= $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ ）^x恒成立，
设h（x）= $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ ）^x= $\text{[math]}$ ，
∵y= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 在[3，4]上单调递增，y=（ $\text{[math]}$ ）^x在[3，4]上单调递减，
∴y=h（x）在[3，4]上单调递增，
∴只需m＜h（3）= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
∴m＜- $\text{[math]}$ ．
故实数m的取值范围是（-∞，- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）由f（x）=log $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 为奇函数，知 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =0，由此能求出b．
（2）由f（x）= $\text{[math]}$ ，知f（2）+f（3）+…+f（9）+f（10）= $\text{[math]}$ ，由此能求出结果．
（3）对于区间[3，4]上的每一个x的值，不等式f（x）＞（ $\text{[math]}$ ）^x+m恒成立，等价于当x∈[3，4]时，f（x）-（ $\text{[math]}$ ）^x= $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ ）^x恒成立，设h（x）= $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ ）^x= $\text{[math]}$ ，推导出y=h（x）在[3，4]上单调递增，由此能求出实数m的取值范围．
点评：本题考查满足条件的实数值的求法，考查对数值的计算，考查满足条件的实数的取值范围的求法，综合性强，难度大．解题时要注意函数的奇偶性、单调性和构造法的合理运用．