题目内容
4.设函数$f(x)=x-\frac{1}{x}$,对?x∈[1,+∞),使不等式f(mx)+mf(x)<0恒成立的实数m称为函数f(x)的“伴随值”,则实数m的取值范围是m<-1.分析 显然m≠0,分当m>0与当m<0两种情况进行讨论,并进行变量分离即可得出答案.
解答 解:由f(mx)+mf(x)<0整理得:2mx<(m+$\frac{1}{m}$)$\frac{1}{x}$,即2mx2<m+$\frac{1}{m}$恒成立.
①当m>0时,2x2<1+$\frac{1}{{m}^{2}}$,因为y=2x2在x∈[1,+∞)上无最大值,因此此时不合题意;
②当m<0时,2x2>1+$\frac{1}{{m}^{2}}$,因为y=2x2在x∈[1,+∞)上的最小值为2,所以1+$\frac{1}{{m}^{2}}$<2,即m2>1,解得m<-1或m>1(舍去).
综合可得:m<-1.
故答案为:m<-1.
点评 本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想,属于难题,解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解.
练习册系列答案
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19.曲线y=$\frac{3x+4}{x+2}$在点(-1,1)处的切线方程为( )
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A. | B. | C. | D. |