Question

（09年临沭县模块考试文）（14分）

       已知圆M的方程为：及定点N（3，0），动点P在圆M上运动，线

       段PN的垂直平分线交圆M的半径MP于点Q，设点Q的轨迹为曲线C。

   （Ⅰ）求曲线C的方程；

   （Ⅱ）试问：过点是否存在直线l，使直线l与曲线C交于A，B两点，且

         ，（O为坐标原点）。若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理

         由。

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）|MP|=|MQ|+|QP|

       又∵Q在PN的垂直平分线上，

       ∴|QP|=|QN|，

       ∴|MP|=|QM|+|QN|，

       即|QM|+|QN|=10

       ∴曲线C是焦点为M、N的椭圆，c=3，a=5，b=4.

       ∴曲线C方程为                                                  ?????????????????6分

   （Ⅱ）假设存在这样的直线l，当斜率l不存在使，A、O、B共线，不满足条件。

       设l的斜率为k，

       ∴l的方程为                                                      ????????????????8分

       由   

       得

       ∴                          ?????????????????10分

      

                 

       又∵

       代入得

       ∴                                          ?????????????????13分

       ∴假设成立，这样的直线存在，方程为     ?????????????????14分