Question

已知函数．
（1）证明函数的图像关于点对称;
（2）若，求；
（3）在（2）的条件下，若 ，为数列的前项和，若对一切都成立，试求实数的取值范围．

Answer 1

（1）函数的定义域为，设、是函数图像上的两点, 其中且,则有，因此函数图像关于点对称（2）（3）

试题分析：（1） 证明：因为函数的定义域为， 设、是函数图像上的两点, 其中且,
则有 
因此函数图像关于点对称                           4分
（2）由（1）知当时，
①     ②
①+②得                         8分
（3）当时，
当时，，
当时， =
∴ （）
又对一切都成立，即恒成立
∴恒成立，又设,所以在上递减,所以在处取得最大值
∴，即
所以的取值范围是                                12分
点评：证明函数关于点对称只需证明，第二问数列求和结合通项的特点采用倒序相加法，第三问将不等式恒成立转化为求函数最值，进而可借助于导数求解