Question

【题目】已知幂函数f（x）的图象经过点 ． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）是幂函数，则设f（x）=xα（α是常数）， ∵f（x）的图象过点 ，
∴ ，
∴α=﹣23，
故f（x）=x﹣2 ， 即 ；
（Ⅱ）f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．证明如下：
设x1 ， x2∈（0，+∞），且x1＜x2 ，
∴ ，
∵0＜x1＜x2∈（0，+∞），
∴x2﹣x1＞0， ，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在区间（0，+∞）上是减函数
【解析】（Ⅰ）利用幂函数的定义，设f（x）=xα（α是常数），根据f（x）的图象过点 ，列出关于α的方程，求解即可得到答案；（Ⅱ）设x1 ， x2∈（0，+∞），且x1＜x2 ， 作差f（x1）﹣f（x2）化简到能直接判断符号为止，利用函数单调性的定义，即可证得答案．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数单调性的判断方法(单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较)．