题目内容
在棱长为
的正方体
中，点
是正方体棱上一点（不包括棱的端点），
，
①若
，则满足条件的点的个数为________；
②若满足的点的个数为
，则
的取值范围是________．
解析试题分析：①时，
,结合椭圆定义知，动点轨迹为一个以2为长轴长，正方体中心为中心，
为焦点的椭圆体.
⑴当椭圆体与
有交点时，则由对称性知椭圆体必与
，
有交点.
设
，则
，
，
因为
，所以
由于，所以此时有六个交点.
⑵当椭圆体与
有交点时，则由对称性知椭圆体必与
，
有交点.
设
，则
，
，
因为
得
所以
由于，所以此时无有六个交点.
说明：当
或
时，椭圆体与正方体交于除外的六个顶点.
②若
则动点不存在.若
则动点轨迹为线段
，满足条件的点的个数为2.因此
即动点轨迹为一个以2为长轴长，正方体中心为中心，为焦点的椭圆体.由①分析可知，要使得满足条件的点的个数为6，须使得
.
考点：椭圆的标准方程及其性质.
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的中点
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，则
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，0)，椭圆
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