题目内容
【题目】已知函数(
),
.
(1)当在
处的切线与直线
垂直时,方程
有两相异实数根,求
的取值范围;
(2)若幂函数的图象关于
轴对称,求使不等式
在
上恒成立的
的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】分析:(1)由题设可得,令
(
),利用导数研究函数的单调性,可得
,从而可得结果;(2)由题设有
,令
(
),两次求导,分两种情况讨论,可得①
时
;②
时,
,综合两种情况可得结果.
详解:(1)由题设可得,令
(
)
则令
得
.
递减 | 极小值 | 递增 |
∵,
,
,
且有两个不等实根,∴
,
即
∴
(2)由题设有,令
(
),
则,令
,则
又
,∴
.∴
在
在单调递增.
又,
①,即
时,
.
所以在
内单调递增,
,所以
②,即
时,由
在
内单调递增,
且∵,
.
∴使得
.
递减 | 极小值 | 递增 |
所以的最小值为
.
又,所以
.
因此,要使当时,
恒成立,只需
,即
即可.
解得,此时
,可得
,
以下求出的取值范围.
设,
,得
.
所以在
上单调递减,从而
.
综上①②所述,的取值范围
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某学校研究性学习小组调查学生使用智能手机对学习成绩的影响,询问了 30 名同学,得到如下的 列联表:
使用智能手机 | 不使用智能手机 | 总计 | |
学习成绩优秀 | 4 | 8 | 12 |
学习成绩不优秀 | 16 | 2 | 18 |
总计 | 20 | 10 | 30 |
(Ⅰ)根据以上列联表判断,能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为使用智能手机对学习成绩有影响?
(Ⅱ)从使用学习成绩优秀的 12 名同学中,随机抽取 2 名同学,求抽到不使用智能手机的人数的分布列及数学期望.智能手机的 20 名同学中,按分层抽样的方法选出 5 名同学,求所抽取的 5 名同学中“学习成绩优秀”和“学习成绩不优秀”的人数;
(Ⅲ)从问题(Ⅱ)中倍抽取的 5 名同学,再随机抽取 3 名同学,试求抽取 3 名同学中恰有 2 名同学为“学习成绩不优秀”的概率.
参考公式:,其中
参考数据:
0.05 | 0,。025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |