题目内容
直线l过抛物线
=2px(p>0)的焦点F,且交抛物线于P、Q两点,由P、Q分别向准线引垂线PR、QS,垂足分别为R、S,如果|PF|=a,|QF|=b,M为RS的中点,则|MF|=
.
y | 2 |
ab |
ab |
分析:由题意,取PQ的中点N,利用|MN|=
(|PR|+|QS|),根据抛物线定义,可得|MN|=
|PQ|,所以PM⊥QM,利用△PRM≌△PFM,可得 MF⊥PQ,在Rt△PMQ中,MF⊥PQ,利用射影定理可得结论.
1 |
2 |
1 |
2 |
解答:解:由题意,取PQ的中点N,
∵M为RS的中点,∴MN是梯形的中位线
∴|MN|=
(|PR|+|QS|)
根据抛物线定义,可得|PR|=|PF|=a,|QS|=|QF|=b,
∴|MN|=
|PQ|,∴PM⊥QM.
∵PR=PF,∠RPM=∠FPM,PM=PM,∴△PRM≌△PFM,∴∠PFM=∠PRM=90°,∴MF⊥PQ.
在Rt△PMQ中,MF⊥PQ,∴|MF|2=|PF|×|QF|,∴|MF|=
故答案为:
∵M为RS的中点,∴MN是梯形的中位线
∴|MN|=
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根据抛物线定义,可得|PR|=|PF|=a,|QS|=|QF|=b,
∴|MN|=
1 |
2 |
∵PR=PF,∠RPM=∠FPM,PM=PM,∴△PRM≌△PFM,∴∠PFM=∠PRM=90°,∴MF⊥PQ.
在Rt△PMQ中,MF⊥PQ,∴|MF|2=|PF|×|QF|,∴|MF|=
ab |
故答案为:
ab |
点评:本题考查抛物线的定义,考查抛物线过焦点的性质,考查射影定理的运用,解题的关键是证明抛物线过焦点的性质,属于中档题.
练习册系列答案
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