题目内容

14.若不等式x2-kx+k-1>0对任意的k∈(1,3)恒成立,则实数x的取值范围是(-∞,0]∪[2,+∞).

分析 由题意可设f(k)=x2-kx+k-1,由一次函数的单调性,可得f(1)≥0,且f(2)≥0,由二次不等式的解法可得x的范围.

解答 解:不等式x2-kx+k-1>0对任意的k∈(1,3)恒成立,
可设f(k)=x2-kx+k-1,由一次函数的单调性,可得
$\left\{\begin{array}{l}{f(1)={x}^{2}-x≥0}\\{f(3)={x}^{2}-3x+2≥0}\end{array}\right.$即为$\left\{\begin{array}{l}{x≥1或x≤0}\\{x≥2或x≤1}\end{array}\right.$,
解得x≥2或x=1或x≤0.
检验x=1不成立,即有x的范围是(-∞,0]∪[2,+∞).
故答案为:(-∞,0]∪[2,+∞).

点评 本题考查函数恒成立问题的解法,注意构造一次函数,运用单调性解决,考查不等式的解法,属于中档题.

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