Question

设函数f（x）=ax²+bx+clnx，（其中a，b，c为实常数且a＞0），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=3x-3，
（Ⅰ）若函数f（x）无极值点且f′（x）存在零点，求a，b，c的值；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点，证明f（x）的极小值小于。

Answer 1

解：（Ⅰ），
由题得，即，
此时，
；
由f（x）无极值点且f′（x）存在零点，
得，
解得，
于是，；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
要使函数f（x）有两个极值点，
只要方程有两个不等正根，
那么实数a应满足 ，解得，
设两正根为，且，
可知当时有极小值，
其中这里
由于对称轴为，所以，
且，得，
记，，
有对恒成立，
又，故对恒有，即，
所以有

而对于恒成立，
即在上单调递增，
故。