Question

4．一个圆和已知圆x²+y²-2x=0相外切，并与直线l：x+$\sqrt{3}$y=0相切于M（3，-$\sqrt{3}$）点，求该圆的方程．

Answer 1

分析 设圆C的圆心为（a，b ），由圆C与圆x²+y²-2x=0相外切，并且与直线l：x+$\sqrt{3}$y=0相切于M（3，-$\sqrt{3}$）点，可以构造关于a，b的方程，解方程求 出a，b，r，即可得到圆C的方程．

解答 解：∵圆C与圆x²+y²-2x=0相外切，
故两个圆心之间的距离等于半径的和，
又∵圆C与直线l：x+$\sqrt{3}$y=0相切于M（3，-$\sqrt{3}$）点，
可得圆心与点M（3，-$\sqrt{3}$）的连线与直线x+$\sqrt{3}$y=0垂直，其斜率为$\sqrt{3}$．
设圆C的圆心为（a，b ），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b+\sqrt{3}}{a-3}=\sqrt{3}}\\{\sqrt{（a-1）^{2}+{b}^{2}}=1+\frac{|a+\sqrt{3}b|}{2}}\end{array}\right.$，
解得a=4，b=0，r=2或a=0，b=-4$\sqrt{3}$，r=6，
∴圆C的方程为（x-4）²+y²=4或x²+（y+4$\sqrt{3}$）²=36．

点评 本题考查的知识点是圆与圆的位置关系及其判定，直线与圆的位置关系，其中由已知构造关于圆心坐标a，b的方程组是解答本题的关键．