题目内容
【题目】已知椭圆,与轴的正半轴交于点,右焦点, 为坐标原点,且.
(1)求椭圆的离心率;
(2)已知点,过点任意作直线与椭圆交于两点,设直线的斜率,若,求椭圆的方程.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:(1)tan∠PFO=可得=,c=b,a==b即可得出(2)直线斜率不为0时,设出直线方程ty=x﹣1,设C(x1,y1),D(x2,y2).联立,化为:(t2+3)y2+2ty+1﹣3b2=0,∵k1+k2=2,∴+=2,根据韦达定理代入求解即可,斜率为0 时也成立
试题解析:
(1)∵tan∠PFO=,∴=,∴c=b,a==b.
∴==.
(2)直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为:ty=x﹣1.设C(x1,y1),D(x2,y2).
联立,化为:(t2+3)y2+2ty+1﹣3b2=0,
y1+y2=,y1y2=,
∵k1+k2=2,∴+=2,
化为:(y1﹣2)(ty2﹣2)+(y2﹣2)(ty1﹣2)=2(ty1﹣2)(ty2﹣2),
即:ty1y2=y1+y2,
∴t=,对t∈R都成立.
化为:b2=1,
直线l的斜率为0时也成立,
∴b2=1,
∴椭圆C的方程为.
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