Question

9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，已知$\sqrt{3}$bcosA=asin（A+C）
（1）求A
（2）若a=$\sqrt{3}$，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）通过三角形的内角和以及正弦定理，直接求出A的正切函数值，即可求A；
（2）由（1）可得b=2sinB，c=2sinC，从而可得△ABC周长L=a+b+c=$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$sin（C+$\frac{π}{6}$），即可求得△ABC周长的最大值．

解答 解：（1）$\sqrt{3}$bcosA=asin（A+C）=asinB．
∴$\sqrt{3}$sinBcosA=sinAsinB，
∵sinB≠0，∴tanA=$\sqrt{3}$
∴A=$\frac{π}{3}$；
（2）∵由（1）可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=2，
∴可得b=2sinB，c=2sinC
∴△ABC周长L=a+b+c=$\sqrt{3}$+2sinB+2sinC=$\sqrt{3}$+2sin（$\frac{2π}{3}$-C）+2sinC=$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$cosC+3sinC=$\sqrt{3}$+sin（C+φ）=$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$sin（C+$\frac{π}{6}$），
故当C=$\frac{π}{3}$时，△ABC周长取最大值3$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考察了正弦定理、余弦定理的综合应用，属于基本知识的考查．