Question

【题目】已知函数f（x）= ﹣ax+cosx（a∈R），x∈[﹣ ， ]．
（1）若函数f（x）是偶函数，试求a的值；
（2）当a＞0时，求证：函数f（x）在（0， ）上单调递减．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为函数f（x）是偶函数，

所以f（﹣x）= ﹣a（﹣x）+cos（﹣x）

= +ax+cosx

=f（x）= ﹣ax+cosx恒成立，

所以a=0；

（2）解：由题意可知 ，

设 ，

则 ；注意到 ，a＞0；

由g'（x）＜0，即 ，解得 ；

由g'（x）＞0，即 ，解得 ；

所以g（x）在 上单调递减， 上单调递增；

所以当 ，g（x）＜g（0）=0﹣a＜0，

所以f（x）在 单调递减，

当 ， ，

所以f（x）在 单调递减，

所以当a＞0时，函数f（x）在 上单调递减

【解析】（1）根据偶函数的定义，f（﹣x）=f（x）恒成立，求出a的值；（2）利用导数大于0或小于0，判断函数f（x）是单调增函数单调减函数即可．
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法和函数奇偶性的性质的相关知识点，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能正确解答此题．