Question

16．设二次方程x²-ax+a²-19=0和x²-5x+6=0的解集分别为A和B．
（1）若A∩B=A∪B，求实数a的值；
（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由A∪B=A∩B可得A=B，故有-a=-5且a²-19=6，解方程组求得a的值．
（2）若A∪B=B，则A⊆B，分类讨论，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）由A∪B=A∩B得A=B，
则-a=-5且a²-19=6，解得a=5．
（2）若A∪B=B，则A⊆B，
∵B={2，3}，
A=∅，△=a²-4（a²-19）＜0，∴a＜-$\frac{2\sqrt{57}}{3}$或a＞$\frac{2\sqrt{57}}{3}$．
A={2}时，有a²-2a-15=0，
∴a=5或-3，
a=5时，A={2，3}不合题意，
a=-3，A={-5，2}，不合题意；
当A={3}时，有a²-3a-10=0
∴a=5或-2，
a=5时，A={2，3}不合题意，
a=-2时，A={-5，3}，不合题意；
A=B时，a=5，
综上，a＜-$\frac{2\sqrt{57}}{3}$或a＞$\frac{2\sqrt{57}}{3}$或a=5．

点评 本题考查集合的表示方法，两个集合的交集、并集的定义和求法，属于中档题．