Question

17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3cos2C-10cos（A+B）-1=0．
（1）求cosC；
（2）若c=1，cosA+cosB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换解方程求得cosC的值．
（2）由条件利用三角恒等变换求出cos$\frac{A-B}{2}$的值．再根据$\frac{A-B}{2}$的范围，求得 A=B，可得a=b，再利用余弦定理求得a的值．

解答 解：（1）△ABC中，∵3cos2C-10cos（A+B）-1=3（2cos²C-1）+10cosC-1=0．
求得 cosC=$\frac{1}{3}$ 或cosC=-2（舍去）．
（2）∵c=1，cosA+cosB=2cos$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$=2cos（$\frac{π}{2}$-$\frac{C}{2}$）cos$\frac{A-B}{2}$=2sin$\frac{C}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$
=2$\sqrt{\frac{1-cosC}{2}}$cos$\frac{A-B}{2}$=2•$\frac{\sqrt{3}}{3}$cos$\frac{A-B}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴cos$\frac{A-B}{2}$=1．再根据$\frac{A-B}{2}$∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），可得 $\frac{A-B}{2}$=0，∴A=B，∴a=b，
再利用余弦定理可得 c²=1=a²+a²-2a•a•cosC=2a²-2a²×$\frac{1}{3}$=$\frac{{4a}^{2}}{3}$，∴a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换、余弦定理，属于中档题．