题目内容
【题目】已知函数.
(1)当,
时,求满足
的
的值;
(2)若函数是定义在
上的奇函数.
①存在,使得不等式
有解,求实数
的取值范围;
②若函数满足
,若对任意
且
,不等式
恒成立,求实数
的最大值.
【答案】(1);(2)①
;②
.
【解析】分析:(1)把,
代入
,求解即可得答案.
(2)①函数是定义在
上的奇函数,得
,代入原函数求解得
的值,判断函数
为单调性,由函数的单调性可得
的取值范围.
②由,求得函数
,代入
,化简后得
恒成立,令
,
,参数分离得
在
时恒成立,由基本不等即可求得
的最大值.
详解:解:(1)因为,
,所以
,
化简得,解得
(舍)或
,
所以.
(2)因为是奇函数,所以
,所以
,
化简变形得:,
要使上式对任意的成立,则
且
,
解得:或
,因为
的定义域是
,所以
舍去,
所以,
,所以
.
①
对任意,
,
有:
,
因为,所以
,所以
,
因此在
上递增,
因为,所以
,
即在
时有解,
当时,
,所以
.
②因为,所以
,
所以,
不等式恒成立,即
,
令,
,则
在
时恒成立,
因为,由基本不等式可得:
,当且仅当
时,等号成立,
所以,则实数
的最大值为
.
|
| 转化不等式 |
奇函数 | 区间上单调递增 | |
区间上单调递减 | ||
偶函数 | 对称区间上左减右增 | |
对称区间上左增右减 |
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