题目内容
【题目】已知圆
的圆心为原点，其半径与椭圆
的左焦点和上顶点的连线线段长度相等.
（1）求圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点的动直线
（其斜率不为0）交圆于
两点，试探究在
轴正半轴上是否存在定点
，使得直线
与
的斜率之和为0？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）当点
为
时，
【解析】分析：(1)根据题意，求出圆
的标准方程；（2）假设存在符合条件的点.设
，
，
，当直线
的斜率存在时，设直线的方程为
.
由
得
，利用根与系数关系表示
可得
，斜率不存在也满足，说明存在符合条件的点.
详解：（1）由题知，椭圆
的左焦点为
，上顶点为
，
故圆的半径
，
所以圆的标准方程为.
（2）假设存在符合条件的点.
设，，，
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为.
由
得，
所以
，
.
由，得
，
即
.
即
.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为
，与圆的交点坐标分别为
，
，显然满足.
所以当点为时，.
【题目】《最强大脑》是江苏卫视引进德国节目《SuperBrain》而推出的大型科学竞技真人秀节目.节目筹备组透露挑选选手的方式：不但要对空间感知、照相式记忆进行考核，而且要让选手经过名校最权威的脑力测试，120分以上才有机会入围.某重点高校准备调查脑力测试成绩是否与性别有关，在该高校随机抽取男、女学生各100名，然后对这200名学生进行脑力测试.规定：分数不小于120分为“入围学生”，分数小于120分为“未入围学生”.已知男生入围24人，女生未入围80人.
（1）根据题意，填写下面的
列联表，并根据列联表判断是否有
以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关；
性别 | 入围人数 | 未入围人数 | 总计 |
男生 | 24 | ||
女生 | 80 | ||
总计 |
（2）用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取11名学生，然后再从这11名学生中抽取3名参加某期《最强大脑》，设抽到的3名学生中女生的人数为
，求的分布列及数学期望.
附：
，其中
.
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
