Question

已知：定义在R上的函数f（x）=x²（ax-3），其中a为常数．
（1）若a=1，求：f（x）的图象在点（1，-2）处的切线方程；
（2）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求：实数a的值；
（3）若函数f（x）在区间（-1，0）上是增函数，求：实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把a=1代入f（x），求出f（x）的导函数，把切点的横坐标x=1代入导函数中，得到的导函数值即为切线方程的斜率，根据求出的斜率和切点坐标写出切线的方程即可；
（2）求出f（x）的导函数，由x=1是函数f（x）的一个极值点，把x=1代入导函数中求出的导函数值为0，得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（3）当a等于0时，代入确定出f（x），得到f（x）在区间（-1，0）为增函数，得到a=0满足题意；当a不等于0时，分a大于0和a小于0两种情况考虑，当a大于0时，得到导函数在区间（-1，0）上其值大于0，所以a大于0满足题意，当a小于0时，令导函数大于0求出a的取值范围，综上，得到所有满足题意的a的取值范围．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x³-3x²，则f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
则k=f′（1）=-3，
∴切线方程为：y+2=-3（x-1），即3x+y-1=0；
（2）f（x）=ax³-3x²，得到f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），
∵x=1是f（x）的一个极值点，
∴f′（1）=0即3（a-2）=0，∴a=2；
（3）①当a=0时，f（x）=-3x²在区间（-1，0）上是增函数，则a=0符合题意；
②当a≠0时，f′（x）=3ax（x-

2

a

），令f′（x）=0，则x₁=0，x₂=

2

a

，
当a＞0时，对任意x∈（-1，0），f′（x）＞0，则a＞0符合题意；
当a＜0时，当x∈（

2

a

，0）时，f′（x）＞0，则

2

a

≤-1，∴-2≤a＜0符合题意，
综上所述，a≥-2满足要求．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握导函数的正负与函数单调性之间的关系，掌握函数在某点取得极值的条件，是一道中档题．