题目内容
【题目】如图，真四棱柱
的底面是菱形，
，
，
，E，M，N分别是BC，
，
的中点.
（1）证明：
面
；
（2）求平面DMN与平面所成锐角的正切值.
【答案】（1）证明见解析.（2）
【解析】
（1）由余弦定理可得
，进而可得
，由正棱柱的几何特征可得
，由线面垂直的判定即可得解；
（2）连接ME，由题意可得四边形DNME为平行四边形，DE即为平面DMN与平面
的交线，由线面垂直的判定可得
面
，进而可得
即为平面DMN与平面所成的平面角，即可得解.
（1）证明：∵在菱形ABCD中，
，
，且E为BC中点，
∴
，∴
即，
又棱柱
是直四棱柱，∴
平面
，∴，
又
平面，
平面，
,
∴
面；
（2）连接ME，
∵E，M，N分别是BC，
，
的中点，
∴
且
，
∴
且
，∴四边形DNME为平行四边形，
从而可知：DE即为面DMN与面的交线，
∵
，
，
，∴面，
∴
且，
则即为平面DMN与平面所成的平面角，
在
中，
，
故平面DMN与平面所成锐角的正切值为.
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【题目】“网购”已经成为我们日常生活中的一部分，某地区随机调查了100名男性和100名女性在“双十一”活动中用于网购的消费金额，数据整理如下：
男性消费金额频数分布表
消费金额 （单位：元） | 0~500 | 500~1000 | 1000~1500 | 1500~2000 | 2000~3000 |
人数 | 15 | 15 | 20 | 30 | 20 |
（1）试分别计算男性、女性在此活动中的平均消费金额；
（2）如果分别把男性、女性消费金额与中位数相差不超过200元的消费称作理性消费，试问是否有5成以上的把握认为理性消费与性别有关.
附：
| 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 |
| 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 |
