题目内容
（本小题满分12分）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4,AA1
，
点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E
.
（1）证明：平面A1DE⊥平面ACC1A1;
（2）求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值。
，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E
.
（1）证明：平面A1DE⊥平面ACC1A1;
（2）求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值。
（1）平面A1DE⊥平面ACC1A1。
(2)正弦值为
。
(2)正弦值为
。（1）证明：由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质知AA1⊥平面ABC。
又DE
平面ABC，所以DE⊥AA1。
而DE⊥A1E，AA1
A1E= A1，所以DE⊥平面ACC1A1。
又DE平面A1DE，故平面A1DE⊥平面ACC1A1。
(2)解：过点A作AF⊥A1E=F，连结DF。
由（1）知，平面A1DE⊥平面ACC1A1，所以AF⊥平面A1DE。
故∠ADF即直线AD和平面A1DE所成的角。
因为DE⊥ACC1A1，所以DE⊥AC。
而ΔABC是边长为4的正三角形，于是
。
又因为AA1=
，
所以A1E=
，
，
，即直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为。
又DE
平面ABC，所以DE⊥AA1。而DE⊥A1E，AA1
A1E= A1，所以DE⊥平面ACC1A1。又DE
平面A1DE，故平面A1DE⊥平面ACC1A1。(2)解：过点A作AF⊥A1E=F，连结DF。
由（1）知，平面A1DE⊥平面ACC1A1，所以AF⊥平面A1DE。
故∠ADF即直线AD和平面A1DE所成的角。
因为DE⊥ACC1A1，所以DE⊥AC。
而ΔABC是边长为4的正三角形，于是
。又因为AA1=
，所以A1E=
，，，即直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为。
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