题目内容
【题目】如图，椭圆
，且点
到椭圆C的两焦点的距离之和为
.
(Ⅰ)求椭圆
的标准方程；
(Ⅱ) 若
，
是椭圆上的两个点，线段
的中垂线
的斜率为
，且直线与交于点
，求证：点在直线
上.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
(Ⅰ)由题意，根据椭圆的定义，求得
，再由点M在椭圆上，代入求得
，即可得到椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线
的方程为
，联立方程组，根据根与系数的关系，求得
，
，进而得到中点坐标，即可作出证明.
(Ⅰ)由题意，因为点
到椭圆
的两焦点的距离之和为
，∴
，解得，
又椭圆经过点
，所以
，解得，
∴椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）证明：∵线段的中垂线
的斜率为
，∴线段的斜率为-2，
所以设直线的方程为，
联立
，得
，
设点
，
，
， 则，
，
则
，
，所以
，∴
，
所以点
在直线
上.
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