Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于两点，的周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，点,分别是椭圆的左顶点、左焦点，直线与椭圆交于不同的两点、（、都在轴上方）．且．证明：直线过定点，并求出该定点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由题意，知，可知 由椭圆的定义知,的周长为，进而求解；（2）设直线和椭圆联立得到二次方程，，∴，进而转化为代数关系，整理可得根据韦达定理，整理上式得到，从而求解.

（1）设椭圆的焦距为，由题意，知，可知，

由椭圆的定义知,的周长为，∴，故

∴椭圆的方程为

（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0。设直线

设，

把直线代入椭圆方程，整理可得,，即

∴，，

∵，

∵、都在轴上方．且，∴，

∴，即,代入

整理可得，

即，整理可得，

∴直线为，∴直线过定点