题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的两个焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=2，点P在椭圆上，且△PF₁F₂的周长为6．
（I）求椭圆C的方程；
（II）若点P的坐标为（2，1），不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，点P到直线l的距离为d，且M，O，P三点共线．求 $数学公式$ 的最大值．

解：（I）由题意得2c=2，2a+2c=6．
解得a=2，c=1，
又b²=a²-c²=3，
所以椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
当直线l与x轴垂直时，由椭圆的对称性可知，点M在x轴上，且与O点不重合，
显然M，O，P三点不共线，不符合题设条件．
故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0）．
由 $\text{[math]}$ 消去y整理得
（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．①
则△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
所以点M的坐标为 $\text{[math]}$ ．
∵M，O，P三点共线，
∴k_OM=k_OP，∴ $\text{[math]}$ ，
∵m≠0，∴ $\text{[math]}$ ．
此时方程①为3x²-3mx+m²-3=0，
则△=3（12-m²）＞0，得 $\text{[math]}$ ．
x₁+x₂=m， $\text{[math]}$ ．
∴|AB|²= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（I）利用椭圆的定义和焦距的定义可得2c=2，2a+2c=6．解得a，c，再利用b²=a²-c²解出即可；
（II）设直线l的方程为y=kx+m（m≠0）．与椭圆的方程联立，得到判别式△＞0及根与系数的关系，由中点坐标公式得到中点M的坐标，利用M，O，P三点共线，得到k_OM=k_OP，解得k，再利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到|AB|²及d²，利用二次函数的单调性即可得出最值
点评：熟练掌握椭圆的定义和焦距的定义及b²=a²-c²、直线与椭圆相交问题转化为把直线l的方程与椭圆的方程联立得到判别式△＞0及根与系数的关系、中点坐标公式、三点共线得到k_OM=k_OP、弦长公式和点到直线的距离公式、二次函数的单调性是解题的关键．本题需要较强的计算能力．