Question

10．已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，且f（x）的图象关于x=1对称，当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1，
（1）当x∈[1，2]时，求f（x）的解析式；
（2）计算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数的对称性，即可求出当x∈[1，2]时的f（x）的解析式；
（2）（根据函数的对称性和函数的奇偶性即可得到f（x）是周期函数，根据函数的周期性先计算f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0，然后可得f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）的值．

解答 解：（1）∵f（x）的图象关于x=1对称，
∴f（1+x）=f（1-x），即f（x）=f（2-x）
当x∈[1，2]时，2-x∈[0，1]，
∵当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1
∴f（x）=f（2-x）=2^2-x-1，x∈[1，2]．
（2）∵f（x）的图象关于x=1对称，
∴f（1+x）=f（1-x），
∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（1+x）=f（1-x）=-f（x-1），
即f（2+x）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
即f（x）是周期为4的周期函数；
∵当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1
∴f（0）=0，f（1）=2-1=1，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（-1）=-f（1）=-1，f（4）=f（0）=0，
∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0，
即f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=504×0=0．

点评 本题考查的知识点是函数的值，奇函数，函数的周期性，其中根据已知条件求出函数是为4的周期函数，是解答本题的关键．