题目内容

【题目】已知f(n)=1+ + + +…+ ,g(n)= ,n∈N*
(1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系;
(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并给出证明.

【答案】
(1)解:当n=1时,f(1)=1,g(1)=1,所以f(1)=g(1);

当n=2时,

所以f(2)<g(2);

当n=3时,

所以f(3)<g(3)


(2)解:由(1),猜想f(n)≤g(n),下面用数学归纳法给出证明:

①当n=1,2,3时,不等式显然成立.

②假设当n=k(k≥3)时不等式成立,

即即 + +…+

那么,当n=k+1时,

因为

所以

由①、②可知,对一切n∈N*,都有f(n)≤g(n)成立


【解析】(1)根据已知 ,n∈N* . 我们易得当n=1,2,3时,两个函数函数值的大小,比较后,根据结论我们可以归纳推理得到猜想f(n)≤g(n);(2)但归纳推理的结论不一定正确,我们可用数学归纳法进行证明,先证明不等式f(n)≤g(n)当n=1时成立,再假设不等式f(n)≤g(n)当n=k(k≥1)时成立,进而证明当n=k+1时,不等式f(n)≤g(n)也成立,最后得到不等式f(n)≤g(n)对于所有的正整数n成立;

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