Question

函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意实数x，都有f（x）=f（x±2k），（k∈Z）成立，已知当x∈[1，2]时，f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）
（1）求x∈[-1，1]时，函数f（x）的表达式；
（2）求x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）时，函数f（x）的表达式；
（3）若函数f（x）的最大值为

1

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用函数是偶函数，f（x）=f（x±2k），可得函数的周期是2k，然后利用周期性和奇偶性求f（x）的表达式．
（2）利用函数的周期是2k，求函数f（x）的表达式．
（3）利用函数的最大值，讨论a的取值，利用对数函数的单调性求解a．

解答：解：（1）由f（x）=f（x±2k）可得函数的周期为2k．当k=1时，函数的周期为2．
所以当x∈[-1，0]时，x+2∈[1，2]，所以f（x）=f（x+2）=log_a（x+2）．
因为函数为偶函数，所以当x∈[0，1]时，-x∈[-1，0]，
所以此时f（x）=f（-x）=log_a（-x+2）．
即f(x)=

loga(x+2)，-1≤x≤0 loga(2-x)，0＜x≤1

．
（2）当x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）时，x-2k∈[-1，1]（k∈Z），所以f（x）=f（x-2k）=

loga(x-2k+2)，-1≤x-2k≤0 loga(2-x+2k)，0＜x-2k≤1

，
即f(x)=

loga(x-2k+2)，2k-1≤x≤2k loga(2-x+2k)，2k＜x≤1+2k

．
（3）因为函数的周期函数且函数为偶函数，所以只研究当x∈[-1，0]时的函数性质即可．
当x∈[-1，0]时，f（x）=log_a（x+2）．
若a＞1，则函数单调递增，此时函数的最大值为f（0）=log_a2=

1

2

，解得a=4成立．
若0＜a＜1，则函数单调递减，此时函数的最大值为f（-1）=log_a1=0，与最大值是

1

2

矛盾．
综上a=4．

点评：本题主要考查函数周期性和奇偶性的应用，利用函数的周期性和奇偶性求函数的解析式，考查学生的运算能力．