Question

在△ABC中，
求证：（1）sin²A+sin²B+sin²C=2+2cosAcosBcosC；
（2）cos²A+cos²B+cos²C=1-2cosAcosBcosC．

Answer 1

分析：（1）将sin²B+sin²C移到另一侧和2联立用三角函数的基本关系化成角B、C的余弦，进而再根据A=π-B-C将cosA化为角B、C的关系即可证．
（2）根据C=π-B-A将cosC化为角B、A的关系即可证．

解答：证明：（1）要证sin²A+sin²B+sin²C=2+2cosAcosBcosC成立
即证sin²A=2-sin²B-sin²C+2cosAcosBcosC成立
又因为2-sin²B-sin²C+2cosAcosBcosC=cos²B+cos²C+2cos（π-B-C）cosBcosC
=cos²B+cos²C-2cos（B+C）cosBcosC=cos²B+cos²C-2（cosBcosC-sinBsinC）cosBcosC
=cos²B+cos²C-2cos²Bcos²C+2sinBsinCcosBcosC
=（cos²B-cos²Bcos²C）+（cos²C-cos²Bcos²C）+2sinBsinCcosBcosC
=cos²Bsin²C+cos²Csin²C+2sinBsinCcosBcosC
=（cosBsinC+cosCsinC）²
=sin²（B+C）=sin²（π-A）=sin²A
即证．
（2）cosC=cos[π-（A+B）]=cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB
左边=cos²A+cos²B+cos²Acos²B+sin²Asin²B-2cosAcosBsinAsinB
=cos²A+cos²B+cos²Acos²B+（1-cos²A）（1-cos²B）-2cosAcosBsinAsinB
=1-2[cos²Acos²B-cosAcosBsinAsinB]
=1-2cosAcosB（cosAcosB-sinAsinB）
=1-2cosAcosBcos（A+B）
=1-2cosAcosBcos[π-（A+B）]
=1-2cosAcosBcosC=右边
即证．

点评：本题主要考查三角函数的基本关系式．这里要注意的试在三角形中三个角的和为π，经常通过一个角等于π减另外两个角来转化．