Question

18．已知直线l：ax+by+5=0与圆C：x²+y²=1．
（1）若a，b∈{1，2，3，4，5，6}，求直线l与圆C相切的概率；
（2）若a，b∈[0，6]，求直线l与圆C没有公共点的概率．

Answer 1

分析 （1）由直线l与圆C相切，利用点到直线的距离公式，得a²+b²=25，由此利用a，b∈{1，2，3，4，5，6}，结合等可能事件概率计算公式能求出直线l与圆C相切的概率．
（2）由直线l与圆C没有公共点，利用点到直线的距离公式，得a²+b²＜25，由此利用a，b∈[0，6]，结合几何概型能求出直线l与圆C没有公共点的概率．

解答 解：（1）∵直线l：ax+by+5=0与圆C：x²+y²=1相切，
∴$\frac{|0+0+5|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1，∴a²+b²=25，
∵a，b∈{1，2，3，4，5，6}，
∴能构成的直线共有n=5²=25条，
满足条件的只有3x+4y+5=0和4x+3y+5=0这两条，
∴直线l与圆C相切的概率p=$\frac{2}{25}$．
（2）∵直线l：ax+by+5=0与圆C：x²+y²=1没有公共点，
∴圆心C（0，0）到直线l的距离d=$\frac{5}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$＞1，即a²+b²＜25，
∵a，b∈[0，6]，
∴由几何概型得直线l与圆C没有公共点的概率p=$\frac{{5}^{2}}{{6}^{2}}$=$\frac{25}{36}$．

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系、古典概型和几何概型的合理运用．