题目内容
如图,四面体ABCD中,O是BD的中点,ΔABD和ΔBCD均为等边三角形,
AB =2 , AC =
.
(I)求证:平面BCD;
(II)求二面角A-BC- D的大小;
(III)求O点到平面ACD的距离.
,
解析:
解法一:
证明:连结OC,
∴. ----------------------------------------------------------------------------------1分
,
,
∴ . ------------------------------------------------------2分
在中,
∴即
-------------------------------------------------------------3分
∴
平面
. ---------------------------------------------------------------------------4分
(II)过O作,连结AE,
,
∴AE在平面BCD上的射影为OE.
∴.
∴ . -----------------------------------------7分
在中,
,
,
, ------------------8分
∴.
∴二面角A-BC-D的大小为. ---------------------------------------------------9分
(III)解:设点O到平面ACD的距离为
,
∴.
在中,
,
.
而,
∴.
∴点O到平面ACD的距离为.-----------------------------------------------------14分
解法二:
(I)同解法一.
(II)解:以O为原点,如图建立空间直角坐标系,
则 -------------------------------------------5分
,
∴. -------------------------------------------------6分
设平面ABC的法向量,
,
,
由
.----------------------------------------8分
设与
夹角为
,
则.
∴二面角A-BC-D的大小为. -------------------------------------------------9分
(III)解:设平面ACD的法向量为,又
,
. -----------------------------------11分
设与
夹角为
,
则 -----------------------------------------------------------------12分
设O 到平面ACD的距离为h,
∵,
∴O到平面ACD的距离为. ---------------------------------- -----------------------14分
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