Question

25、已知p：x²-4x+3＜0，q：x²-（m+1）x+m＜0，（m＞1）．
（1）求不等式x²-4x+3＜0的解集；
（2）若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分解因式得（x-1）（x-3）＜0进而可求得不等式的范围为1＜x＜3．
（2）由题意得：因为不等式分解为（x-m）（x-1）＜0所以讨论m与1的大小．当m＞1时，不等式x²-（m+1）x+m＜0的解是1＜x＜m，由题意得x²-4x+3＜0的解集是x²-（m+1）x+m＜0，（m＞1）解集的真子集，进而可得答案．同理讨论当m＜1时的情况．

解答：解：（1）因为x²-4x+3＜0，所以（x-1）（x-3）＜0，所以1＜x＜3．
所求解集为{x|1＜x＜3}．
（2）由题意得：（x-m）（x-1）＜0
当m＞1时，
不等式x²-（m+1）x+m＜0的解是1＜x＜m，
因为p是q的充分不必要条件，
所以x²-4x+3＜0的解集是x²-（m+1）x+m＜0，（m＞1）解集的真子集．
所以m＞3．
当m＜1时，
不等式x²-（m+1）x+m＜0的解是m＜x＜1，
因为p是q的充分不必要条件，
所以x²-4x+3＜0的解集是x²-（m+1）x+m＜0，（m＜1）解集的真子集．
因为当m＜1时 {x|1＜x＜3}∩{x|m＜x＜1}=?，
所以m＜1时p是q的充分不必要条件不成立．
综上，m的取值范围是（3，+∞）．

点评：本题是借助于解含参数的不等式考查充要条件的知识，解决含参数的不等式常用的方法是求出对应方程的根再讨论两个根的大小即可，而判断充要条件时可以把问题转化为两个集合之间的关系．